関数の最大値と最小値を求める問題は、特定の区間での値を求める基本的な問題です。特に、区間が異なる場合（例えば、0≦x<πと0≦x<2π）にどう違いが生じるかを理解することは重要です。この記事では、関数y＝sin²x+2sinxcosx+3cos²xの最大値と最小値を求める際の考え方の違いについて解説します。
問題の設定と関数の簡略化
与えられた関数はy＝sin²x+2sinxcosx+3cos²xです。この関数を最大値と最小値を求めるために簡略化します。
まず、2つの三角関数の恒等式を用います。
- sin²x + cos²x = 1
- 2sinxcosx = sin(2x)
これらを用いて、関数を簡略化すると、y = 1 + sin(2x) + 2cos²x となります。この関数の最大値と最小値を、指定された区間で求めることになります。
区間0≦x
最初の区間は0≦x<πです。この区間では、xの値が0からπ未満の範囲で関数の最大値と最小値を求めます。
この場合、sin(2x)とcos²xはそれぞれの区間内で特定の範囲を取ります。特に、sin(2x)は0≦x<πの範囲で[-1,1]の範囲を取るため、最大値と最小値がこの範囲内で決定されます。最終的な最大値と最小値は、計算によって得られます。
区間0≦x
次に、区間が0≦x<2πに広がる場合について考えます。この場合、xの範囲が広がるため、関数の値もより多様に変化します。
sin(2x)は、0≦x<2πの範囲では[-1,1]の範囲を取り、cos²xも同様に変化します。このため、最大値と最小値を求めるためには、0≦x<πの範囲での計算と異なる結果が得られる場合があります。特に、関数の最大値と最小値は、xが0≦x<πの時とは異なり、より広い範囲での値が必要です。
考え方の違い：0≦x
0≦x<πの場合と0≦x<2πの場合の違いは、主に関数が取る最大値と最小値の範囲にあります。0≦x<2πの範囲では、関数の値はより多くの変動を見せるため、最大値や最小値が異なります。
0≦x<πの時と0≦x<2πの時の違いは、特にxの周期的な性質に関係します。0≦x<πの場合、関数が取る範囲が限られており、最大値と最小値がその範囲内で決定されます。一方、0≦x<2πの場合は、関数がより広い範囲で動くため、その変動をしっかりと把握することが重要です。
まとめ
0≦x<πと0≦x<2πの範囲における関数の最大値と最小値を求める際の考え方は、区間の広さにより異なります。0≦x<2πの場合、より多くの値を考慮する必要があり、計算方法に違いが生じることがあります。これらの違いを理解することで、正確に最大値と最小値を求めることができるようになります。
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