サイコロを複数回投げる場合、その目の積が10の倍数である確率を求める問題があります。特に、この問題で「事象A」と「事象B」を使った確率の求め方がわからないという質問に答える形で解説します。この記事では、事象Aと事象Bを使った計算方法について詳細に説明します。
問題の設定
問題は、サイコロをn回（n ≧ 2）投げ、そのうちK回目（1 ≦ K ≦ n）の出る目をXₖとしたときに、積X₁X₂·····Xnが10の倍数である確率を求めるというものです。これに対して、解答では事象AとBを設定し、最終的に「1 – P(A ∪ B)」という形で確率を求めます。
事象Aと事象Bの定義
この問題で使用する事象Aと事象Bを定義します。
- 事象A: Xₖがすべて偶数でない（すなわち、出る目が全て奇数である）
- 事象B: Xₖがすべて5の倍数でない（すなわち、出る目が5の倍数でない）
この二つの事象AとBを考えることで、積が10の倍数である確率を計算する手法に進みます。
積X₁X₂·····Xnが10の倍数であるための条件
積が10の倍数であるためには、10がその積の因数でなければなりません。10は2と5の積であるため、積X₁X₂·····Xnが10の倍数であるためには、サイコロで出た目の中に少なくとも2の倍数（偶数）と5の倍数が含まれている必要があります。
したがって、積が10の倍数でない場合、以下の2つの条件が必要です。
- サイコロの目の中に偶数が含まれていない（事象A）
- サイコロの目の中に5の倍数が含まれていない（事象B）
これらの条件を使って、積が10の倍数である確率を求めるためには、事象Aまたは事象Bの確率を求め、その確率を1から引くことで解答を得ることができます。
事象A ∪ Bの確率を求める
事象A ∪ Bとは、「事象Aまたは事象Bが起こる」という事象です。これは、次のように計算できます。
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
ここで、P(A)は「偶数が出ない確率」、P(B)は「5の倍数が出ない確率」を表します。また、P(A ∩ B)は「偶数も5の倍数も出ない確率」です。この確率を個別に計算して足し合わせます。
計算結果と最終的な確率
これらの確率を使って、最終的に積が10の倍数でない確率P(A ∪ B)を求め、次にそれを1から引くことで、積が10の倍数である確率を求めます。
最終的な確率は以下のように求められます。
- P(積が10の倍数) = 1 – P(A ∪ B)
このようにして、問題の解答にたどり着きます。
まとめ
サイコロをn回投げたとき、積が10の倍数である確率を求めるためには、事象A（偶数が出ない）と事象B（5の倍数が出ない）の確率を求め、その共通範囲を使って最終的な確率を計算します。この方法を使うことで、与えられた問題を効率的に解決することができます。
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