数学的証明: y = 2^t - 2^(-t) と y^2 = {2^t - 2^(-t)}^2 の同値性

この問題では、数学的な関係式 y = 2^t – 2^(-t) と y^2 = {2^t – 2^(-t)}^2 が同値であるかどうかを確認することが求められています。具体的に、y > 0 の場合にこれらの式が等しいのか、またその証明方法を見ていきます。

問題の設定と式の確認

まず、問題として与えられている式は以下のようになります。

y = 2^t – 2^(-t)

そして、これを平方して以下の式が得られます。

y^2 = {2^t – 2^(-t)}^2

この問題では、y > 0 の場合にこの関係が成り立つかを確認する必要があります。

まず、y^2 = (2^t – 2^(-t))^2 を展開します。展開の過程は次の通りです。

y^2 = (2^t)^2 – 2 × 2^t × 2^(-t) + (2^(-t))^2

ここで、2^t × 2^(-t) = 1 なので、式は以下のように簡略化できます。

y^2 = 2^(2t) – 2 + 2^(-2t)

この式が y^2 の展開結果です。一方、元の y = 2^t – 2^(-t) を使うと、y^2 の左辺も次のように計算できます。

y^2 = (2^t – 2^(-t))^2 = 2^(2t) – 2 × 2^t × 2^(-t) + 2^(-2t)

再度、この式を確認してみると、やはり左辺と右辺の展開結果が一致することが分かります。

y = 2^t – 2^(-t) という式では、t の値により y の符号が決まります。例えば、t > 0 の場合は y > 0 であり、t < 0 の場合は y < 0 となります。

y > 0 の場合において、y^2 = {2^t – 2^(-t)}^2 の関係は確かに成り立ちます。つまり、y > 0 の場合に限り、この式は正しいと結論できます。

y = 2^t – 2^(-t) と y^2 = {2^t – 2^(-t)}^2 の関係について、数学的に検証を行った結果、y > 0 の場合において、両者は同じ式として成り立つことが確認できました。問題における疑問は、展開した式の確認によって解決されました。