x² + 4x - 3 を (x + m)² + n の形に直す方法

今回は、2次方程式の整理問題「x² + 4x – 3」を「(x + m)² + n」という形に直す方法を解説します。これは「完成平方」や「平方完成」として知られる方法で、2次式を簡単な形に変換する基本的なテクニックです。

1. 完全平方の概念

完全平方とは、ある二項式を2乗した形に変換することを指します。例えば、(x + m)² という形に変換することで、式が簡単に解けるようになります。

このような形に式を変換することで、方程式が解きやすくなり、数値の計算が簡単になる場合があります。

まず、元の式 x² + 4x – 3 を (x + m)² + n の形に変換するための手順を見てみましょう。最初に、x² + 4x の部分を平方完成します。

1. x² + 4x の部分を取り出します。

x² + 4x

2. x² + 4x の場合、4の半分を2にして、それを2乗した値4を加えます。

x² + 4x = (x + 2)² - 4

これで、x² + 4x は (x + 2)² – 4 と表現できます。

次に、元の式には -3 の定数項がありますので、これも加えます。

したがって、式は次のように変わります。

x² + 4x - 3 = (x + 2)² - 4 - 3

これを整理すると。

x² + 4x - 3 = (x + 2)² - 7

これで、x² + 4x – 3 は (x + 2)² – 7 の形に整理されました。

完成した式は次の通りです。

x² + 4x - 3 = (x + 2)² - 7

これにより、x² + 4x – 3 は「(x + 2)² – 7」と表現できました。この形式が、質問にある「(x + m)² + n」の形に一致しています。

ここで、m は 2、n は -7 です。

この問題では、x² + 4x – 3 を平方完成を使って (x + 2)² – 7 という形に変換しました。平方完成は、2次式をより簡単な形に変換するための強力な手法です。この手法を使えば、方程式を解くのが簡単になります。

これで、平方完成の手順を理解し、他の2次式にも応用できるようになりました。次回からは、この方法を使って複雑な2次式を効率よく解くことができます。