積分の問題で、偶関数を利用して計算を簡略化しようとした際に誤解が生じることがあります。この記事では、偶関数の積分についての一般的な誤解とその解決方法を解説し、問題の解法に関する正しいアプローチを示します。
偶関数とは？
偶関数とは、xが−xに置き換えられたときに、関数の値が変わらない関数です。すなわち、f(x) = f(−x)が成り立つ関数のことを指します。代表的な例としては、x²やcos(x)などがあります。
積分において、偶関数は対称性を利用して計算を簡略化することができます。たとえば、区間[−a, a]で偶関数を積分する場合、次のように積分範囲を半分にして計算することができます。
∮−a→a f(x) dx = 2∮0→a f(x) dx
問題の積分：∮−1→1 x² dxの計算
今回の問題では、関数x²が偶関数であるため、積分範囲を[−1, 1]とする代わりに、積分範囲を[0, 1]に縮めて計算することができます。
この場合、積分は次のように計算されます。
∮−1→1 x² dx = 2∮0→1 x² dx
∮0→1 x² dxは、単純な積分で、結果は1/3です。したがって、最終的な値は2 * 1/3 = 2/3となります。
誤解の原因と正しい解法
問題文では、偶関数の積分を使って1/3を求めたとありますが、実際には問題の解法では正しい積分範囲を使用する必要があります。偶関数の性質を利用して積分範囲を半分に縮めた結果、2/3という正しい値が得られます。
この場合、x²は確かに偶関数ですが、積分範囲[−1, 1]を正しく使った場合にはそのまま積分を計算することで2/3の値が出るため、積分の計算手法に特に誤りはないことを確認することが重要です。
まとめ
偶関数の積分を利用する際に計算範囲を半分に縮める方法は便利ですが、問題文における積分範囲に従って計算することが重要です。今回の問題では、正しい計算手順を踏むことで、2/3という正しい解が得られました。偶関数の積分を活用する際は、積分範囲に注意し、適切な計算を行いましょう。
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