3点A(1,2), B(a+1,5), C(9,-4)が同一直線上に並ぶときのaの値を求める方法

数学の問題で、3点A(1,2)、B(a+1,5)、C(9,-4)が同一直線上に並ぶとき、aの値を求める方法について解説します。直線上に並ぶ点に関する問題は、座標平面での直線の方程式を用いることで解くことができます。

直線上に並ぶ3点の条件

3点が同一直線上に並ぶためには、これらの点が結ぶ直線の傾きが同じである必要があります。すなわち、点AとB、点BとCを結ぶ直線の傾きが等しいという条件です。この条件を使って、aの値を求めることができます。

2点間の傾きは、座標(x₁, y₁)と(x₂, y₂)を用いて、次の式で求められます。

傾き = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)

まず、点A(1, 2)と点B(a+1, 5)を結ぶ直線の傾きを求めましょう。

傾き = (5 – 2) / ((a+1) – 1) = 3 / a

次に、点B(a+1, 5)と点C(9, -4)を結ぶ直線の傾きを求めます。

傾き = (-4 – 5) / (9 – (a+1)) = -9 / (8 – a)

3点が同一直線上に並ぶためには、上記の2つの傾きが等しい必要があります。したがって、次の方程式を立てます。

3 / a = -9 / (8 – a)

この方程式を解くことで、aの値を求めることができます。

方程式3 / a = -9 / (8 – a)を解きます。両辺にa(8 – a)を掛けることで、次のように式を整理できます。

3(8 – a) = -9a

24 – 3a = -9a

24 = -6a

a = -4

したがって、3点A(1, 2)、B(a+1, 5)、C(9, -4)が同一直線上に並ぶとき、aの値は-4となります。このように、点が同一直線上に並ぶための条件を使って、aの値を求めることができました。