行列の問題：det(AB)^T を det(A) と det(B) を用いて証明する方法

行列の積の転置行列についての問題を解決しましょう。問題は、n×n 行列 A, B に対して、(AB)^T の行列式が det(A) と det(B) を用いて表せることを示すというものです。

行列式の基本的な性質

まず、行列式の基本的な性質を確認しましょう。行列式には以下の重要な性質があります。

これらの性質を活用して、問題を解いていきます。

与えられた問題は、(AB)^T の行列式を det(A) と det(B) を用いて示すことです。まず、(AB)^T を展開します。

行列の積の転置は、各行列を転置したものの積に等しいという性質があります。つまり、(AB)^T = B^T A^T となります。

次に、det((AB)^T) を計算します。先ほど述べた行列式の性質を使うと、det((AB)^T) は det(B^T A^T) に等しいです。

さらに、転置行列の行列式の性質を使って、det(B^T A^T) = det(B^T) * det(A^T) となります。

また、det(B^T) = det(B) および det(A^T) = det(A) なので、最終的に det((AB)^T) = det(B) * det(A) となります。

したがって、行列の積の転置行列の行列式は、元の行列の行列式の積に等しいことが分かりました。すなわち、(AB)^T の行列式は det(A) と det(B) を使って次のように表せます。

det((AB)^T) = det(A) * det(B)

このように、行列の積の転置行列の行列式を簡単に計算することができます。