積分は初めて学ぶとき、少し複雑に感じることがありますが、ステップを踏んで理解すると非常にシンプルになります。この記事では、∫(2x-3)³dxを積分する方法を順を追って解説します。
積分の前提知識：積分の基本的な公式
まず、積分の基本的な公式を思い出しましょう。例えば、積分の基本形として次のようなものがあります。
- ∫xⁿdx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (n ≠ -1)
この公式を使って、複雑な積分も解くことができます。
∫(2x-3)³dxの解き方
まず、この積分を解くために、簡単な置換を使用します。まずは式を展開してみましょう。
∫(2x-3)³dxの積分では、(2x-3)をuと置換します。
u = 2x - 3
次に、du/dx = 2 となるので、dx = du/2 です。これを使って式を変換します。
このように置き換えた後、積分式は次のようになります。
∫u³ (du/2)
この式を解くと、次のようになります。
(1/2) * ∫u³ du = (1/2) * (u⁴/4) + C
解答の導出
最終的に、uを元の式に戻すと、次のように求められます。
(1/8) * (2x - 3)⁴ + C
これが、∫(2x-3)³dxの積分結果です。
まとめ
積分を解くためには、まずは積分の基本公式を理解し、適切な置換を使って解くことが重要です。複雑な式も置換法を使うことで簡単に解けることが多いので、積分の技術を磨くことで様々な問題に対応できるようになります。
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