楕円の方程式と焦点の関係についての解説

この記事では、座標平面上の2点を焦点とする楕円の方程式の求め方と、焦点に関する式の解説を行います。特に、楕円の焦点の条件を使って方程式を導く方法と、なぜ1が出てくるのかを詳しく説明します。

問題の概要

問題は、座標平面上の2点(0, -1)と(2, -1)を焦点とする楕円の方程式を求めるものです。楕円の長軸の長さが4であるという条件があります。最終的に、焦点の条件から1＝√(a² – b²)という式が出てきますが、この1がどこから来ているのかを解説します。

楕円の標準的な方程式は、中心を原点に置いた場合、次の形になります。

\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)

ここで、aは長軸の半分の長さ、bは短軸の半分の長さです。長軸の長さが4とされているため、a=2となります。

楕円の焦点について、焦点間の距離は2cであり、cは次の関係式で表されます。

\( c^2 = a^2 – b^2 \)

ここで、aとbはそれぞれ長軸と短軸の半分の長さです。焦点の条件を使うと、焦点間の距離が2となり、これを使ってcを求めることができます。

焦点間の距離が2であるため、c=1となり、式は次のように整理できます。

\( 1 = \sqrt{a^2 – b^2} \)

ここで出てくる1は、焦点の距離が2であることから導かれた結果です。したがって、この式の左辺は1となります。

この問題では、楕円の焦点を利用して方程式を導き、焦点間の距離が2であるという条件から、1＝√(a² – b²)という式を得ることができました。この1は、焦点の距離を反映したものです。