f(x)=0(x≠0)の原始関数が存在しないことの証明

この問題では、f(x) = 0 (x ≠ 0) とした場合に、fの原始関数が存在しないことを示すことが求められています。質問者が示した解法の正当性を確認しつつ、詳細に解説していきます。

1. 問題設定と前提条件

まず、f(x) = 0 (x ≠ 0) の関数において、f(0) = 1とする設定です。このような関数が原始関数を持つかどうかを確かめることが問題です。仮にf(x)に原始関数F(x)が存在すると仮定した場合、F(x)はx上で微分可能でなければなりません。

次に、平均値の定理を用います。x ≠ 0のとき、平均値の定理により次の式が成り立ちます。

F(x) - F(0) = f(c) × x

ここで、cは0とxの間に存在する点です。この式を使って、f(x)が0であるため、次のように簡単に式が導かれます。

F(x) - F(0) = f(c) × x = 0

上記の結果より、F(x) = F(0)が成り立ちます。すなわち、F(x)は定数関数であることが分かります。この時点で、F(x)はxの値に関係なく一定の値を取る関数であることが示されました。

ここで重要なのは、F(x)が定数関数であるとき、F'(0) = 0が成り立つことです。しかし、問題設定ではf(0) = 1であるため、F'(0)は1でなければならず、F'(0) = 0と矛盾します。この矛盾が、f(x)に原始関数が存在しないことを示しています。

以上の議論より、f(x) = 0 (x ≠ 0) かつ f(0) = 1 という条件のもとでは、fの原始関数は存在しないことが示されました。質問者が示した解法は基本的に正しいアプローチを取っていますが、十分な説明が加わることで理解が深まります。