微分方程式の一般解の解き方：dx/dt + x = 2の解法

微分方程式の解法について、特に1階線形微分方程式に関する解法方法を解説します。この問題では、方程式 dx/dt + x = 2 の一般解を求める手順を紹介します。

問題の設定

与えられた微分方程式は次の通りです。

dx/dt + x = 2

この問題は1階線形微分方程式であり、標準的な解法として積分因子法を使用します。まず、この方程式を一般的な形に変換します。

まず、方程式 dx/dt + x = 2 を解くためには、積分因子を使います。積分因子は e^(∫1 dt) であり、この場合、積分因子は e^t となります。

両辺に積分因子 e^t を掛けると、次のようになります。

e^t(dx/dt) + e^t * x = 2 * e^t

この式は、左辺が積分可能な形になっており、積分することで解を得ることができます。

積分後、解を求めると次のようになります。

e^t * x = ∫(2 * e^t) dt

積分を行うと。

e^t * x = 2 * e^t + C

両辺を e^(-t) で割ると、最終的な解は次のようになります。

x(t) = 2 + C * e^(-t)

これが、微分方程式 dx/dt + x = 2 の一般解です。C は積分定数で、初期条件に基づいて決定されます。

この問題では、1階線形微分方程式を積分因子法を用いて解きました。微分方程式を解く際の基本的な考え方を理解するために有益な演習です。