tanθ=√3のとき、sin²θ+cos²θの解法とその意味について

三角関数において、与えられた条件から特定の式を導くことは基本的な問題解決の一つです。今回は、tanθ=√3 のときに sin²θ+cos²θ の値を求める問題を解説します。この問題を通じて三角関数の公式をどのように活用するかを学びましょう。

三角関数の基本公式

三角関数において、特に重要な公式の一つは以下の恒等式です。

sin²θ + cos²θ = 1

この公式は、すべての角度に対して成立します。この式が成り立つため、問題の解法でも非常に重要な役割を果たします。

tanθ=√3 の場合

問題では tanθ=√3 と与えられています。ここで、tanθ は sinθ と cosθ の比であるため、次のように表せます。

tanθ = sinθ / cosθ

したがって、tanθ = √3 であるということは、sinθ と cosθ の比が √3 であることを意味します。つまり、sinθ = √3 * cosθ という関係が成り立ちます。

公式の適用と結果

与えられた公式 sin²θ + cos²θ = 1 は、tanθ=√3 という条件があっても変わることはありません。すなわち、この公式は常に 1 であるため、tanθ が何であれ、sin²θ + cos²θ の値は 1 になります。

したがって、tanθ=√3 の場合でも、sin²θ + cos²θ = 1 という答えが導かれます。この結果は三角関数の基本的な恒等式に基づいており、公式に従って答えることが求められます。

まとめ

tanθ=√3 のときでも、sin²θ + cos²θ の値は変わらず 1 になります。これは三角関数の基本的な恒等式に基づく結果です。質問にあったように、「公式より ‘1’ ではダメなのか？」という疑問については、この公式が普遍的に成り立つため、正しい解答は常に 1 であることが理解できると思います。