平方完成を使って2次方程式を解く方法は数学で非常に重要なスキルです。特に、係数が整数の場合にどのように平方完成を進めていくのか、その具体的な解法と途中式を詳しく解説します。
平方完成とは？
平方完成とは、2次式を平方の形に変形する方法です。これにより、方程式を解きやすくしたり、関数のグラフの特徴を把握したりできます。平方完成を使うことで、簡単に解を求めることができるため、よく用いられます。
問題の例
例えば、次のような2次式が与えられたとします。
3x² – 12x
この式を平方完成して解く方法を説明します。最初に、係数が1でない場合の処理について見ていきます。
1. 係数で括る
まず最初に、式においてx²の前の係数で括る作業を行います。この場合、係数は3なので、式全体を3で括ります。
3(x² – 4x)
ここまでが最初のステップです。
2. 定数項を加える
次に、平方完成のためにxの係数の半分の値を2乗した数を式に加えます。xの係数は-4なので、その半分は-2で、-2を2乗すると4になります。これを式に加えます。
3(x² – 4x + 4 – 4)
ここで+4と-4を使ってバランスを取ることにより、x² – 4x + 4が完全な平方の形になります。
3. 完全な平方に変換
次に、式の中の(x² – 4x + 4)を平方の形に変換します。これは(x – 2)²です。すると、式は次のようになります。
3((x – 2)² – 4)
ここまでで、平方完成が完了しました。
4. 余分な項を整理する
最後に、括弧の外にある定数項を整理します。-4に3を掛けると-12になるので、式は次のようになります。
3(x – 2)² – 12
まとめ
平方完成を行うことで、式を簡単に解くことができます。特に、係数が整数の場合はまずその係数で括ってから、xの係数を利用して平方を完成させることが重要です。この方法を使えば、さまざまな2次方程式を効率的に解けるようになります。
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