階差数列を使って問題を解く方法と一般項の求め方

この問題では、階差数列を使って数列の一般項を求める方法について解説します。問題の数列は、初項がa1=2であり、再帰的な関係式が与えられています。具体的には、an+1 – c = p(an – c)という形で数列が定義されています。この解法では、階差数列の概念を利用して解くことが求められています。

問題の確認と式の整理

まず、問題文にある数列の再帰的な関係式を確認しましょう。

数列の初項がa1=2であり、次の項はan+1 – c = p(an – c)という式で定義されています。この式は、数列の各項を前の項を用いて定義する形になっています。ここで、pやcは定数です。

階差数列は、数列の項同士の差を求める方法です。この方法を使うことで、再帰的な関係式を簡単に扱うことができます。

再帰式を階差数列に置き換えることで、数列の一般項を導出できます。階差数列を使うことで、再帰的な式をより簡潔に表現し、一般項を求める際の計算を楽にすることができます。

次に、与えられた式を階差数列を用いて解いていきます。まず、an+1 – c = p(an – c)という式を変形し、数列の一般項を求めます。この過程で、各項の差を求め、それを使って最終的にanの式を得ることができます。

この手法を使って、最終的に数列の一般項がan = (1/2)^(n-1) + 1であることが分かります。この結果を得るために、階差数列を用いた計算を行うことがポイントです。

階差数列を利用することで、再帰的な数列の問題を効率よく解くことができます。問題文に与えられた式をうまく階差数列に変換することで、複雑な計算を簡略化し、最終的に一般項を求めることができます。この方法を覚えておくと、再帰的な数列の問題を解く際に非常に役立ちます。