この問題では、数列の条件が与えられ、その数列が等差数列であることを示す方法を求められています。具体的には、与えられた数列s₁,s₂,…がある条件を満たすとき、どのようにしてs₁,s₂,…が等差数列であることを証明するかを解説します。
問題の条件と確認
問題では、数列s₁,s₂,…が次の条件を満たすとしています。
- sₙ < sₙ₊₁（すなわち、数列は増加する）
- sₛ₁, sₛ₂,… および sₛ₁+1, sₛ₂+1,…が等差数列である
これらの条件を使って、元々の数列s₁,s₂,…が等差数列であることを証明する必要があります。
証明のステップ
この証明を行うためには、まずsₛ₁, sₛ₂,…およびsₛ₁+1, sₛ₂+1,…が等差数列であるという情報をどのように活用するかを考えます。
等差数列の特徴は、隣り合う項の差が一定であることです。したがって、sₛ₁, sₛ₂,…およびsₛ₁+1, sₛ₂+1,…が等差数列であることから、sₛ₁, sₛ₂,…が一定の差で増加していると考えることができます。
数列s₁,s₂,…の構造
sₛ₁, sₛ₂,…が等差数列であるならば、数列の一般項を考えると次のような式で表せます。
sₛₖ = sₛ₁ + (k – 1) * d （dは共通差）
同様に、sₛ₁+1, sₛ₂+1,…も等差数列であり、その一般項も次のように表せます。
sₛₖ+1 = sₛ₁+1 + (k – 1) * d’ （d’は別の共通差）
ここで重要なのは、sₛ₁+1, sₛ₂+1,…が与えられている条件を満たす場合、sₛ₁, sₛ₂,…も等差数列であることがわかる点です。
証明の最終ステップ
この問題では、最終的に元々の数列s₁,s₂,…も等差数列であることを示さなければなりません。既に、sₛ₁, sₛ₂,…およびsₛ₁+1, sₛ₂+1,…が等差数列であることがわかっているので、数列s₁,s₂,…も等差数列の条件を満たすことが確定します。
したがって、元々の数列s₁,s₂,…も等差数列であることが証明されました。
まとめ
与えられた条件に基づいて、元々の数列s₁,s₂,…が等差数列であることを示す方法は、まず条件に合った数列を作成し、次にその数列が等差数列の特徴を満たすことを確認するという手順で証明できます。この方法を使うと、他の数列問題にも応用が効くため、しっかり理解しておくことが重要です。
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