数学IIの問題で「√3sinθ + cosθ = 1」を解く方法を解説します。この問題は三角関数の基本的な性質を活用して解くことができます。ここではその手順を、なるべくわかりやすく説明していきますので、ぜひ参考にしてください。
問題の理解と式の整理
まず、問題の式「√3sinθ + cosθ = 1」を見てみましょう。三角関数の加法定理を使ったり、式を変形することで解ける問題です。この式を解くためには、まず式に含まれる三角関数の性質をよく理解する必要があります。
式に含まれているsinθとcosθの係数を見て、三角関数の合成として考えるアプローチが有効です。√3と1という係数から、合成角度の計算に進むことができます。
三角関数の合成公式を使う
この式を解くためのヒントは、三角関数の合成公式にあります。sinθとcosθの係数が√3と1なので、この式を合成角度の形式に変形することができます。
合成角度の公式は次のように表せます。
A sin(θ + α) = √3 sinθ + cosθ
ここで、Aは合成角の振幅、αは角度です。これにより、sinθとcosθの加算を一つの三角関数の式に変換できます。
具体的な解法手順
まず、振幅Aを求めます。√3と1を使ってAを計算すると、A = √(√3² + 1²) = 2となります。
次に、角度αを求めます。tanα = 1/√3なので、α = 30°となります。これにより、式は次のように変形できます。
2 sin(θ + 30°) = 1
ここから、sin(θ + 30°) = 1/2となります。
θの求め方
最後に、sin(θ + 30°) = 1/2という式からθを求めます。sinの値が1/2になる角度は30°と150°です。
したがって、θ + 30° = 30°またはθ + 30° = 150°という2つの式を得ます。
それぞれの式を解くと、θ = 0°またはθ = 120°となります。
まとめ
この問題では、三角関数の合成を利用することで、複雑な式をシンプルに解くことができました。最終的にθ = 0°またはθ = 120°という解が得られました。数学IIでよく出題されるタイプの問題ですので、合成角度の公式や三角関数の性質を覚えておくと、類似の問題にも対応できるようになります。
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