|x-a|< ax-1 の解き方:ステップバイステップ解説

高校数学

「|x-a|< ax-1」という方程式の解き方を理解するためには、絶対値や不等式を扱う基本的な数学の知識が必要です。この記事では、この問題を解くためのステップを分かりやすく解説します。

絶対値の不等式を理解する

まず、この方程式に登場する絶対値記号「|x-a|」の意味を確認しましょう。絶対値は、数値が正か負かにかかわらず、その数の「大きさ」を示します。たとえば、|3|= 3 や|-3|= 3です。

この方程式では、「|x-a|」が「ax-1」より小さい、という不等式が成り立っています。絶対値を含む不等式を解く際には、場合分けをする必要があります。

場合分けして不等式を解く

絶対値の不等式を解くには、絶対値が外れる2つのケースに分けて考えます。具体的には、x-aが正の値のときと負の値のときで解きます。

1. x-aが正の場合(x ≥ a):この場合、|x-a| = x-aとなり、不等式は次のようになります。

x – a < ax - 1

2. x-aが負の場合(x < a):この場合、|x-a| = -(x-a) = -x + aとなり、不等式は次のようになります。

-x + a < ax - 1

不等式を整理して解く

1. x ≥ a の場合:x – a < ax - 1 を解くと、x - ax < -1 + a となり、整理すると (1 - a)x < a - 1 になります。この不等式をさらに解くと、xの範囲が求められます。

2. x < a の場合:-x + a < ax - 1 を解くと、-x - ax < -1 - a となり、整理すると -(1 + a)x < -1 - a となります。この不等式も整理して解くと、xの範囲が求められます。

解の範囲を求める

各場合を解いた結果、xの範囲が決まります。それぞれの不等式を解くことで、xの具体的な値の範囲が導き出され、最終的な解が得られます。

ここで求めたxの範囲が、この方程式を満たす解となります。

まとめ

「|x-a|< ax-1」という方程式は、絶対値を含む不等式として、場合分けして解く必要があります。それぞれのケースにおいて不等式を整理し、最終的に解の範囲を求めることで、この方程式を解くことができます。数学の問題を解く際には、正しい手順に従って丁寧に計算することが重要です。

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