連立方程式を階段行列に変形して解を求める問題について、特に「解は無数に存在する」という結論が出る場合の理由を解説します。この手法は、連立方程式の解を求める際に重要なアプローチです。具体的な例を通じて、どのように階段行列を使って解を求めるのかを確認しましょう。
問題の設定
与えられた連立方程式は以下の通りです。
1. 2x + z = 1
2. -x + y – 3z = 0
3. -x – y + 2z = -1
この連立方程式を階段行列に変形して解を求める方法を見ていきます。
階段行列とは？
階段行列とは、行列の形が階段状になるように操作した行列のことです。階段状というのは、左上から右下にかけて、主成分（左側の数値）が順番に0になっていく形です。階段行列に変形することで、解を簡単に求められる場合があります。
この方法では、まず行列を操作して、最終的に解が得られる形に持ち込むことが目的です。
連立方程式の階段行列への変形
まず、与えられた連立方程式を行列形式に表します。
2x + z = 1 → [2, 0, 1 | 1]
-x + y – 3z = 0 → [-1, 1, -3 | 0]
-x – y + 2z = -1 → [-1, -1, 2 | -1]
次に、行列に対してガウス消去法（行基本操作）を適用し、階段行列に変形します。これにより、解を求めることができます。
解は無数に存在する理由
この連立方程式の解が無数に存在する場合、行列を階段行列に変形した結果、1つの変数に依存する形になります。つまり、特定の変数に値を代入することで他の変数が決定される状況です。
ガウス消去法を使って変形した結果、1つまたは複数の変数が自由変数となり、無数の解が存在することになります。具体的には、ある変数を自由に設定することで他の変数を求めることができ、解の集合が無限に広がるという結果になります。
まとめ
連立方程式の解が無数に存在する場合、階段行列に変形した結果として、自由変数が登場し、解が無限に存在することがわかります。この手法を使うことで、未知数が複数ある場合でも、解の範囲を明確に理解することができます。ガウス消去法や階段行列を使うことは、連立方程式の解法において非常に有効なアプローチです。
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