線形システムにおける正弦波入力とその出力の関係：振幅と位相の変化について

線形システムにおける正弦波の入力と出力の関係については、非常に興味深いテーマです。特に、正弦波を入力した場合に出力が同じ周波数でありながら、振幅や位相が変化する理由については、システムの特性が大きく影響しています。本記事では、この現象を詳しく解説し、なぜ正弦波以外の波形が出力されないのかについても説明します。

線形システムの基本的な特性

線形システムとは、入力と出力が線形の関係にあるシステムを指します。つまり、システムにおける入力信号が複数であっても、その出力は入力信号の加算で表現されるという特性を持ちます。線形システムは、振幅や位相を調整することはあっても、入力信号の周波数を変えることはありません。

例えば、正弦波を入力信号として与えた場合、その周波数は変わらず、振幅や位相がシステム特性に応じて調整されるだけです。これが、なぜ正弦波が出力され続けるのかの基本的な理由です。

正弦波入力時の出力波形の変化

正弦波を入力すると、出力もまた同じ周波数の正弦波になります。これは、線形システムが周波数成分に影響を与えず、振幅と位相のみを変更するためです。システムの伝達関数によって、入力信号の振幅は変わり、位相も遅れや進みを生じますが、周波数はそのままです。

例えば、低域通過フィルタの場合、高周波成分は減衰しますが、入力信号の周波数は変更されません。これが線形システムの特徴的な挙動です。

なぜ正弦波以外が出力されないのか？

質問で触れられているように、線形システムにおいて、正弦波を入力した場合に正弦波以外の波形（例えば、方形波など）が出力されることはありません。これは、線形システムが入力信号の周波数成分をそのまま維持し、波形を「再構成」しないためです。

もし方形波などの複雑な波形を入力した場合、線形システムはその波形を正弦波成分に分解して処理しますが、最終的な出力は再び正弦波成分のみとなり、元の複雑な波形は再現されません。このことが、正弦波以外の波形が出力されない理由です。

システムの影響と非線形システムの挙動

もしシステムが非線形であれば、入力信号の周波数成分に加えて新たな周波数成分が生成されることがあります。非線形システムは、例えば正弦波を入力した場合に、元の正弦波以外の高調波を生成することがあります。これが方形波などの波形が出力される原因となります。

しかし、質問のシナリオでは線形システムを前提にしているため、正弦波以外の波形は出力されません。非線形の影響がない場合、正弦波は常にその周波数で出力されることになります。

まとめ

線形システムでは、入力された正弦波と同じ周波数の正弦波が出力され、その振幅や位相がシステムの特性に応じて変化します。これが、正弦波以外の波形が出力されない理由です。システムが非線形であれば、入力信号に新たな周波数成分が加わることがありますが、線形システムにおいてはそのようなことは起こりません。これらの特性を理解することで、線形システムの動作をより深く理解できるようになります。