不等式 x² - 3ax - a - 3 ＜ 0 を満たす a の範囲を求める方法

問題「-1≦x≦1 を満たすすべての実数xについて x² – 3ax – a – 3 ＜ 0 となるようなaの範囲を求めなさい」について、具体的な解法を解説します。この問題を解くためには、与えられた不等式を解析して、条件を満たすaの範囲を導き出す必要があります。

不等式の確認

まず、与えられた不等式を確認します。

x² – 3ax – a – 3 ＜ 0 です。この不等式は、xが-1以上1以下の範囲にあるときに成立するようなaの範囲を求める問題です。

まず、xの範囲-1≦x≦1を考慮しつつ、不等式を整理します。xに関して二次方程式の形を持つため、まずはその判別式を求める必要があります。x² – 3ax – a – 3 = 0の判別式は次のように求められます。

判別式 = (-3a)² – 4(1)(-a-3) = 9a² + 4a + 12

判別式が0より大きいとき、方程式が2つの実数解を持ち、その間に不等式が成立する可能性があります。したがって、判別式を0以上にする必要があります。

9a² + 4a + 12 ≥ 0

これを解くと、aの範囲が得られます。判別式が0以上となるaの範囲を求めると、次のようになります。

a ≦ -4/9 または a ≧ -3/4

不等式x² – 3ax – a – 3 ＜ 0が成立するためのaの範囲は、判別式の条件を満たす範囲をもとに最終的に求めることができます。具体的には、aの範囲は次のように求められます。

-4/9 ≦ a ≦ -3/4

この問題では、与えられた不等式を整理し、判別式を求めることで、aの範囲を求めることができました。最終的に、aは-4/9から-3/4の範囲にあることがわかりました。このように、二次方程式の判別式を使って不等式の解を求める方法は、数学の問題を解く際に非常に有用です。