高１数学：工夫して展開する方法と式変形の理解

数学の問題を解く際に、式をうまく展開して簡単に解く方法を学ぶことは非常に大切です。特に、式の変形を工夫することで、計算がスムーズに進むことがあります。この記事では、式変形の一例として、与えられた式をどのように工夫して展開するのかを解説します。

問題の概要と式の工夫

まず、問題に示された式を見てみましょう。与えられた式は以下の通りです。

(a + b + c)² + (b + c – a)² + (c + a – b)² + (a + b – c)²

この式をそのまま展開すると非常に複雑になりますが、工夫することで簡単に扱うことができます。

ここで重要なのは、与えられた式の項に注目し、うまくグループ化して展開することです。問題の提示に従って、式を以下のように変形します。

{(b + c) + a}² + {(b + c) – a}² + {a – (b – c)}² + {a + (b – c)}²

ここで、二項式の展開を利用して式を簡単にしていきます。このような変形は、計算をより簡単にするための工夫です。

次に、各項を二項定理を使って展開してみましょう。

例えば、第一項 {(b + c) + a}² は、二項定理を使って次のように展開できます。

(b + c + a)² = (b + c)² + 2a(b + c) + a²

このようにして、他の項も展開していきます。すべて展開すると、次の式になります。

2{(b + c)² + a²} + 2{a² + (b – c)²}

式を展開した結果、上記のように整理できました。これにより、式は非常にシンプルな形になり、計算もしやすくなります。

このようにして、問題をうまく工夫して展開することで、複雑な式を簡単に扱うことができるようになります。

式の展開や変形を行う際は、問題に対してどのような工夫をすれば良いのかを考えることが重要です。二項式の展開や項のグループ化など、基本的な数学のテクニックを駆使することで、複雑な問題も効率的に解くことができます。

今回の問題も、適切に式を変形することでスムーズに解くことができました。今後の学習でも、このような方法を取り入れて、さらに複雑な問題にも挑戦してみましょう。