高校3年生の数学Cで出てくる問題で、「aベクトル＝(3,2)に垂直で大きさが10のベクトルを求めなさい」という問題の解き方を解説します。ベクトルの直交性と大きさに関する知識を使って、簡単に解く方法を説明します。
1. 問題の確認
問題では、aベクトル＝(3, 2)に垂直で、大きさが10のベクトルを求めるように指示されています。これを解くために必要な情報は2つです。
- aベクトル＝(3, 2)と直交するベクトル
- そのベクトルの大きさが10である
2. ベクトルが垂直であるとは？
2つのベクトルが垂直であるためには、ベクトルの内積が0でなければなりません。ベクトルa = (3, 2)に垂直なベクトルb = (x, y)を求めるには、以下の内積が0であることを使います。
内積の公式は、a・b = 3x + 2yです。これが0でなければならないので、次の式が成り立ちます。
3x + 2y = 0
この式を使って、xとyの関係を求めることができます。
3. ベクトルの大きさが10である条件
次に、ベクトルb = (x, y)の大きさが10であるという条件を使います。ベクトルの大きさは、|b| = √(x² + y²) で計算できます。したがって、次の式を得ます。
√(x² + y²) = 10
両辺を二乗すると、x² + y² = 100となります。
4. 連立方程式の解法
ここまでで、次の2つの方程式が得られました。
- 3x + 2y = 0
- x² + y² = 100
これらの方程式を解くことで、xとyの値を求めることができます。
まず、3x + 2y = 0から、y = -3/2xと変形します。これをx² + y² = 100に代入して解くと、xとyの値が求まります。
5. 結果
最終的に求まるxとyの値から、垂直なベクトルb = (x, y)が得られます。その後、ベクトルの大きさが10であることを確認し、解答が得られます。
6. まとめ
この問題では、ベクトルの直交性と大きさに関する知識を組み合わせて解くことが求められました。問題を解くには、内積を使って直交条件を満たすベクトルを求め、次にそのベクトルの大きさが10である条件を適用しました。これらのステップを理解することで、似たような問題にも対応できるようになります。
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