数学の整数問題: x + 1/4 ≦ y ≦ x + 3/4 が矛盾する理由とは?

数学の整数問題でよく出てくる「x + 1/4 ≦ y ≦ x + 3/4」という不等式が矛盾する理由を解説します。整数についての基本的な理解を深めながら、なぜこの不等式が成り立たないのか、ステップバイステップで説明していきます。

1. 不等式の整理

まず、与えられた不等式は以下の通りです。

x + 1/4 ≦ y ≦ x + 3/4

ここで、xとyは整数と仮定しています。よって、この不等式におけるxとyの値は整数である必要があります。

整数xに1/4と3/4を足すと、整数のままではない数（小数）になります。

例えば、x = 1の場合。

1 + 1/4 = 1.25, 1 + 3/4 = 1.75

このように、x + 1/4とx + 3/4は整数ではなく小数となりますが、yは整数でなければなりません。

不等式x + 1/4 ≦ y ≦ x + 3/4が成り立つためには、yが整数である必要があります。しかし、x + 1/4とx + 3/4の間には少なくとも1/2の差があるため、yがその間に収まる整数は存在しません。したがって、この不等式は矛盾しています。

この不等式x + 1/4 ≦ y ≦ x + 3/4は、整数yに対して矛盾を生じるため成立しません。整数の範囲でこの不等式を満たす値は存在しないことがわかります。

整数問題では、不等式が成り立つためには左右の数値が整数でなければなりません。しかし、x + 1/4 ≦ y ≦ x + 3/4という不等式では、整数yを満たすことができず、矛盾が生じることがわかりました。このような問題を解く際には、整数の性質をしっかりと理解しておくことが重要です。