なぜcosθの範囲は0＜cosθ＜1でなく、0＜θ＜90°で成り立つのか？

数学において、三角関数や角度の範囲に関する疑問はよくあります。特に、cosθの範囲については直感的に理解しづらい部分もあるかもしれません。「cosθが鋭角、0＜θ＜90°となる条件は0＜cosθで、なぜcosθ＝1のときには条件を満たさないのか？」という質問について、今回はその理由を解説します。

cosθの基本的な性質

cosθは三角関数の一つで、直角三角形における隣接辺の長さと斜辺の長さとの比率を示します。θが鋭角（0＜θ＜90°）の範囲にあるとき、cosθは必ず正の値を取ります。cosθは、θが増加するごとに値が減少し、θ＝0°のときcosθは1、θ＝90°のときcosθは0になります。

そのため、θが鋭角である場合、cosθは1から0の間の値を取ります。この範囲内で、cosθの値が必ず正であることが重要です。従って、「0＜cosθ」と言う表現が使われますが、これがθが鋭角であることを保証します。

cosθ＝1のときの解釈

cosθ＝1のとき、θは0°となります。0°の角度は、厳密には「鋭角」ではなく、ただの直線的な角度です。これは、数学的な定義において、鋭角が「0°＜θ＜90°」であるという範囲に限定されているため、cosθ＝1の状態は鋭角には含まれません。したがって、θが0°の場合、cosθ＝1は鋭角の条件を満たしません。

そのため、「0＜cosθ＜1」という表現にしない理由は、cosθが1になるとき、角度が0°であり、この状態が鋭角とは見なされないからです。

0＜cosθと鋭角の関係

0＜cosθの範囲は、実際には鋭角を示す条件を意味しています。θが0°に近づくとcosθは1に近づき、θが90°に近づくとcosθは0に近づきます。この範囲内では、cosθの値は常に正の値を取るため、鋭角を表すことができます。これにより、「0＜cosθ」は、θが鋭角であるという条件を適切に表現するのです。

逆に、cosθが0になる角度（θ＝90°）は直角を意味しますし、cosθが負になる角度（θ＞90°）は鈍角を示します。したがって、cosθの範囲が0＜cosθ＜1でない理由は、数学的な定義と角度の範囲に基づいています。

まとめ

「cosθ＝1のとき、なぜθ＝0になり、鋭角に該当しないのか？」という問いについて、cosθの基本的な性質を理解することでその答えが見えてきます。cosθが鋭角を示す条件は「0＜cosθ」と表現され、これはθが0°＜θ＜90°の範囲であることを意味します。cosθが1になるのはθ＝0°であり、この角度は鋭角とは見なされないため、「0＜cosθ＜1」という範囲での理解が必要です。