lim[m→∞] g(m)=0を示す方法：連続関数の積分の極限

数学の問題において、積分と極限を扱う問題は非常に重要です。この問題では、関数f(x)が区間[a,b]上で連続であるとき、g(m) = ∫[a,b] f(x) sin(mx) dx の極限がm→∞において0に収束することを示す方法について解説します。

1. 問題の理解

与えられた関数g(m)は、区間[a,b]上のf(x)とsin(mx)の積分です。ここでf(x)は連続関数であり、mが大きくなると、sin(mx)の振動が積分にどのような影響を与えるかが焦点となります。具体的にlim[m→∞] g(m) = 0を示すことが目標です。

まず、g(m)を明確に書くと、g(m) = ∫[a,b] f(x) sin(mx) dx となります。この積分の極限を求めるために、sin(mx)の性質を考慮する必要があります。

2. 振動関数sin(mx)の性質

sin(mx)は、mが大きくなるにつれて非常に多くの振動を繰り返します。この振動がf(x)に掛け算されているため、平均的にsin(mx)の寄与は0に近づきます。厳密に言うと、sin(mx)は振動しているため、積分の結果がm→∞のときに0に収束することが予想されます。

このことを直感的に説明すると、sin(mx)の平均値は0に近いため、f(x)とsin(mx)を積分してもその結果が0に近づくということです。

3. 積分の部分積分法

さらに、積分を解析的に扱うためには、部分積分を用いることが有効です。積分を部分積分で分けると、積分が2つの部分に分かれ、それぞれの部分がどう収束するかを検討することができます。実際には、f(x)の連続性とsin(mx)の振動性を利用することで、積分全体が0に収束することが示せます。

部分積分の詳細は計算を省略しますが、この手法を使ってg(m)が0に収束する理由を具体的に示すことができます。

4. 結論：g(m)の極限は0

mが大きくなるにつれて、sin(mx)の影響でg(m)の値は小さくなり、最終的には0に収束します。このようにして、lim[m→∞] g(m) = 0が成り立つことが示されます。

この問題を解く過程で、積分の性質や振動関数の影響を理解することができました。連続関数と振動関数の積分がどのように極限に収束するかを学ぶ良い例です。

まとめ

積分と極限を扱うこの問題では、sin(mx)の振動特性を利用して、最終的にg(m)の極限が0に収束することを示しました。このような問題では、関数の性質や積分の方法をしっかり理解することが解決への近道です。