因数分解の解説: a^4(b-c)+b^4(c-a)+c^4(a-b) の因数分解方法

因数分解の問題でよく出題される式「a^4(b-c)+b^4(c-a)+c^4(a-b)」について、どう解くかを詳しく解説します。この問題は一見難しそうに見えますが、手順を追って解くことで理解しやすくなります。

問題の式

与えられた式は次の通りです：
a^4(b-c) + b^4(c-a) + c^4(a-b) 。これを因数分解する方法を見ていきます。

式の整理と因数分解

まず、この式に対して共通の因数を見つけることが重要です。a^4、b^4、c^4のそれぞれの項が異なる部分を含んでいますが、この式をa, b, cの差の形に整理すると、因数分解がしやすくなります。

まず、(a-b)(b-c)(c-a) という形の因数が現れることに注目します。この部分を使って、次の式に展開できます：
-(a-b)(b-c)(c-a)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca)

因数分解の手順

1. まず、a^4(b-c) + b^4(c-a) + c^4(a-b) の形を見て、各項の中で共通の因子を探します。
2. それぞれの項に現れる (a-b)(b-c)(c-a) の因子を取り出します。
3. 最後に、残った部分を整理して、a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca を得ることができます。

まとめ

この問題を解くポイントは、与えられた式に共通の因子を見つけ、因数分解することです。最終的な解答は -(a-b)(b-c)(c-a)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca) となります。このような因数分解をすることで、複雑な式をシンプルに解くことができます。