確率の問題：赤玉、青玉、黄玉の配置に関する確率と期待値の計算

数学の確率問題において、赤玉3個、青玉2個、黄玉1個の合計6個の玉を袋から1個ずつ取り出し、赤色、青色、黄色の皿に順番に乗せるというシナリオを考えます。この問題では、玉の色と皿の色が一致している皿の枚数Xを求めることが求められています。

問題の設定

袋の中には赤玉3個、青玉2個、黄玉1個が入っています。それぞれの玉は、赤色、青色、黄色の皿に順番に乗せられます。玉の色と皿の色が一致している枚数Xについて、次の問いを解きます。

まず、X = 3になる条件を考えます。X = 3となるためには、赤玉が赤皿、青玉が青皿、黄玉が黄皿にそれぞれ乗る必要があります。

この場合、玉の順番に関わらず、各玉がそれぞれの皿に正しく乗る確率を計算します。確率は、すべての玉を並べる方法の中で、玉が皿に正しく乗る順番を選ぶ場合の数を求めることで計算できます。計算式は次のようになります。

確率 = (3! × 2! × 1!) / 6!

ここで、3! は赤玉の並べ方、2! は青玉の並べ方、1! は黄玉の並べ方、6! はすべての玉の並べ方の総数です。この計算により、X = 3となる確率が求まります。

次に、X = 2となる確率を求めます。X = 2になるためには、2つの玉がそれぞれの皿に一致し、残りの1つの玉は異なる皿に置かれる必要があります。

この場合、どの玉が一致するかを選ぶ場合の数を計算し、それに基づく確率を求めます。計算式は次のようになります。

確率 = (赤玉と青玉が一致する場合 + 赤玉と黄玉が一致する場合 + 青玉と黄玉が一致する場合) / 6!

この方法で、X = 2となる確率が得られます。

期待値は、確率変数Xの平均的な値を求めるもので、次のように計算します。

期待値E(X) = Σ (X × P(X))

ここで、P(X)はXの値が取る確率です。X = 0、X = 1、X = 2、X = 3のそれぞれの確率を求め、それを用いて期待値を計算します。

期待値を計算する際には、Xの各値に対応する確率を掛けて、その合計を求めます。この計算を通じて、問題の期待値が明確になります。

この問題は、確率論の基本的な考え方を活用した典型的な問題です。X = 3となる確率、X = 2となる確率、そしてXの期待値を求めることで、確率変数に関する理解を深めることができます。数学の確率問題は、計算手順をしっかりと追い、確率の概念をしっかり理解することが重要です。