この問題では、極限 lim (x→1) (1-x)tan(πx/2) を求める方法について解説します。tan(πx/2) が x = 1 で無限大に発散する点を考慮し、適切な手法を使って極限値を求めます。
問題の整理
与えられた極限式は次の通りです。
lim (x→1) (1-x)tan(πx/2)
まず、x = 1 で関数がどうなるかを見てみましょう。x = 1 を代入すると、(1 – 1)tan(π(1)/2) = 0 * tan(π/2) となり、tan(π/2) は無限大に発散します。したがって、直接代入しても不定形の 0 × ∞ が出てきます。
不定形の解消：L’Hopitalの法則
このような不定形 (0 × ∞) に遭遇した場合、L’Hopitalの法則を利用することができます。L’Hopitalの法則は、極限が 0/0 または ∞/∞ の形になっている場合に適用できます。
まず、式を分数の形に変換します。tan(πx/2) は分数の形にして扱うことができます。
lim (x→1) (1-x)tan(πx/2) = lim (x→1) (1-x) * (2/π) / (cos(πx/2))
微分して極限を求める
次に、この式を微分します。L’Hopitalの法則を使うためには、分子と分母をそれぞれ微分します。分子は 1 – x の微分で -1 となり、分母は cos(πx/2) の微分で -π/2 * sin(πx/2) になります。
したがって、極限式は次のようになります。
lim (x→1) (-1) / (-π/2 * sin(πx/2))
ここで、x = 1 を代入すると、sin(π/2) = 1 となり、極限値は。
-1 / (-π/2 * 1) = 2/π
まとめ
この問題では、L’Hopitalの法則を使うことで、極限 lim (x→1) (1-x)tan(πx/2) の値を求めることができました。最終的な答えは 2/π です。L’Hopitalの法則を使うことで、複雑な極限の計算を簡単に解決できることがわかります。
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