格子点の問題を解く方法：放物線と直線で囲まれた領域の格子点を求める

格子点を求める問題は、数学の中でも特にグラフや図形を扱う際に重要です。ここでは、放物線y=2x²と直線y=2x+6が囲む範囲内の格子点を求める方法について解説します。簡単に見つけられなかった場合でも、適切なステップで求めることができます。

格子点とは？

格子点とは、x軸とy軸が整数の座標に交わる点のことです。グラフ上でこれらの点を求めることは、特に図形の面積や領域を計算する際に重要です。この問題では、放物線と直線が交わる範囲内に含まれる格子点を求めることになります。

格子点を見つけるには、対象となる図形（この場合は放物線と直線）の方程式に基づいてxとyの範囲を決め、その範囲内の整数値を探します。

まず、問題の式はy=2x²とy=2x+6です。この2つの式が交わる点を求める必要があります。これを求めるためには、両方の式を連立させて解くことで交点を求めます。

y=2x²とy=2x+6を連立させると、次のような方程式が得られます。

2x² = 2x + 6

これを解くと、x² – x – 3 = 0となり、解の公式を使って解くことができます。この式の解はx=3とx=-1です。したがって、交点はx=3とx=-1の2点であり、それぞれのy値を代入するとy=12とy=4になります。

交点がx=3, y=12とx=-1, y=4であることがわかりました。この情報を基に、次に求めるべきは格子点が存在する範囲です。放物線と直線が交わる範囲内の格子点を調べるためには、xとyが整数となる点を探します。

例えば、xの値を-1から3まで変化させて、各xに対応するyの値を計算します。これにより、y=2x²とy=2x+6の間にある整数座標を持つ格子点を求めることができます。

次に、具体的な計算方法を示します。xの値を順番に代入し、それに対応するyの値を計算します。

x=-1 のとき、y=2x²=2(1)=2 と y=2x+6=2(-1)+6=4 となり、格子点 (-1, 2) と (-1, 4) が得られます。
x=0 のとき、y=2x²=0 と y=2x+6=6 となり、格子点 (0, 0) と (0, 6) が得られます。
x=1 のとき、y=2x²=2 と y=2x+6=8 となり、格子点 (1, 2) と (1, 8) が得られます。
x=2 のとき、y=2x²=8 と y=2x+6=10 となり、格子点 (2, 8) と (2, 10) が得られます。
x=3 のとき、y=2x²=18 と y=2x+6=12 となり、格子点 (3, 18) と (3, 12) が得られます。

このように、y=2x²とy=2x+6の放物線と直線で囲まれた範囲の格子点は、xの値を-1から3まで変化させ、それに対応するyの値を計算することで求めることができます。各xに対応するyの範囲内の整数値が格子点になります。数学的な計算を行うことで、格子点を正確に求めることができます。