整数に関する不等式 (x-1)x < y^2 < x(x+1) が y = x となる理由

数学の問題で「(x-1)x＜y^2＜x(x+1)ならばy=x」という式が示されています。この式は、一見すると理解が難しいかもしれませんが、適切に解いていくと、なぜy=xとなるのかがわかります。この記事では、この不等式の解き方を解説します。

1. 不等式の概要とその構造

まず、与えられた不等式は以下のようになります。

(x-1)x < y^2 < x(x+1)

この不等式は、y^2がx(x-1)とx(x+1)の間にあることを示しています。具体的にどのような範囲でy^2が決まるのかを見ていきましょう。

まずは、y^2 < x(x+1)とx(x-1) < y^2の2つの部分を解きます。左辺のx(x-1)と右辺のx(x+1)はそれぞれ、xが1より大きい場合には増加し、xが負の値の時に減少します。

実際に計算すると、xが整数の場合、これらの2つの不等式はy^2に関する範囲を定めます。これがy^2の値がy=xのときにぴったり一致することを意味します。

y^2がx(x-1)とx(x+1)の間に収束する際、最も自然に一致するのは、y=xという関係です。なぜなら、x(x-1)とx(x+1)の間におけるy^2の値が、xと一致した場合に最も簡潔で一致するためです。

もしyがx以外の整数の場合、不等式を満たすy^2の値が得られないため、y=xであることがこの不等式の最も適切な解となります。

例えばx=2の場合、(x-1)x = 2となり、x(x+1) = 6です。この場合、y^2が2と6の間にあるため、yの値は±2です。よってy=2かy=-2となり、y=xという関係が成り立つことが確認できます。

この問題の要点は、y^2がx(x-1)とx(x+1)の間に収束するため、y=xという解が最も自然であるという点です。整数値を代入して確認することで、なぜy=xがこの不等式を満たすのかが明確に理解できます。今後、似たような不等式に遭遇した場合、同様の方法で解くことができるようになります。