三次方程式の解を使った式の計算方法：α²＋β²＋γ² と α³＋β³＋γ³の求め方

三次方程式の解に関する問題は、解の関係を利用して簡単に計算を進めることができます。この記事では、三次方程式 x³ – 2x + 4 = 0 の解を α, β, γ としたときに、α² + β² + γ² と α³ + β³ + γ³ の値を求める方法を解説します。

三次方程式の基本的な性質

三次方程式 x³ – 2x + 4 = 0 を解くことで得られる解 α, β, γ には、いくつかの基本的な性質があります。これらは、三次方程式の係数から導くことができるため、直接計算せずに求めることができます。

三次方程式の解に対する基本的な関係式は、次のように表されます。

• α + β + γ = 0
• αβ + βγ + γα = -2
• αβγ = -4

これらの関係を使って、問題の式を求めることができます。

α² + β² + γ² の計算方法

最初に、α² + β² + γ² の値を求めましょう。この式を計算するために、次の恒等式を使用します。

α² + β² + γ² = (α + β + γ)² – 2(αβ + βγ + γα)

α + β + γ は 0 なので、(α + β + γ)² は 0 となり、式は次のように簡単になります。

α² + β² + γ² = -2(αβ + βγ + γα)

先程求めたように、αβ + βγ + γα = -2 ですので、これを代入して計算します。

α² + β² + γ² = -2(-2) = 4

α³ + β³ + γ³ の計算方法

次に、α³ + β³ + γ³ の値を求めます。α³ + β³ + γ³ の計算には、次の恒等式を使います。

α³ + β³ + γ³ = (α + β + γ)((α + β + γ)² – 3(αβ + βγ + γα)) + 3αβγ

α + β + γ = 0 なので、この式は簡単に次のようになります。

α³ + β³ + γ³ = 3αβγ

αβγ は -4 なので、最終的な値は。

α³ + β³ + γ³ = 3(-4) = -12

まとめ

三次方程式 x³ – 2x + 4 = 0 の解 α, β, γ に対して、α² + β² + γ² は 4、α³ + β³ + γ³ は -12 となります。このように、三次方程式の解に関連する式は、解の性質を利用して簡単に求めることができます。計算を進める際は、基本的な恒等式をしっかり理解して使うことが重要です。