積分の計算: f(x)→0 (x→∞) と C^∞級関数に関する問題の解法

この記事では、数学の問題である「f(x)→0 (x→∞) でfがC^∞級のときの積分の計算方法」について詳しく説明します。特に、limit_{t→0+}∫_[0,∞] f(x)/x^{1-t} dx という式の解法に焦点を当てます。

1. 問題の定義と背景

問題において、f(x)がC^∞級であることから、f(x)は無限回微分可能であり、無限大で0に収束するという性質を持っています。このような関数を使った積分の計算は、定積分の基本的な計算に加えて、極限の概念も取り入れる必要があります。

まず、問題文の積分を整理し、f(x)が無限大に収束する性質を活かし、積分を実行します。具体的な方法としては、定積分の中で変数変換や極限を使う手法が考えられます。

f(x)→0 (x→∞) でC^∞級関数を使う場合、積分の中でxが無限大に近づくと、f(x)が非常に小さくなるため、これを利用した近似が可能です。特に、xが大きくなるときの挙動を捉えることが計算の鍵となります。

積分を実際に解く際には、数値的な手法を使って評価することもできます。また、t→0+の極限を考慮する際には、f(x)の無限回微分可能性とxの増大に伴う挙動を細かく確認する必要があります。

この問題は、積分の計算と極限をうまく組み合わせる問題です。無限大で収束する関数f(x)を用いた積分の計算では、関数の挙動をよく理解し、適切な変数変換や近似を利用することで解法を導くことができます。