X³ + Y³ の計算方法：√6 + √2 と √6 - √2 の場合

与えられた式 X = √6 + √2 および Y = √6 – √2 の場合、X³ + Y³ を計算する方法について解説します。この問題では、平方根を使った計算と立方体の展開を行う必要があります。

1. 立方体の公式

まず、X³ + Y³ を展開するために、立方体の公式を使用します。一般に、a³ + b³ の公式は次のように展開できます。

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

X と Y の和を計算します。

X + Y = (√6 + √2) + (√6 – √2) = 2√6

次に、X² + Y² を計算します。

X² + Y² = (√6 + √2)² + (√6 – √2)²

まず、(√6 + √2)² を展開すると、6 + 2 + 2√12 となり、8 + 4√3 になります。

同様に、(√6 – √2)² を展開すると、8 – 4√3 となります。

したがって、X² + Y² = (8 + 4√3) + (8 – 4√3) = 16 です。

最後に、公式を使って X³ + Y³ を計算します。

X³ + Y³ = (X + Y)((X² + Y²) – XY)

X + Y = 2√6, X² + Y² = 16, そして XY は次のように計算できます。

XY = (√6 + √2)(√6 – √2) = 6 – 2 = 4

これを代入すると、X³ + Y³ = 2√6(16 – 4) = 2√6 × 12 = 24√6

したがって、X³ + Y³ の値は 24√6 となります。この方法を使って、同様の問題も解けるようになります。