数I 二次関数の最大値を求める方法 – y = x² – 4x + 6

今回の問題は、二次関数の最大値を求める問題です。関数 y = x² – 4x + 6 の最大値を、与えられた範囲 (0 ≦ x ≦ a) で求める方法を解説します。まず、二次関数の特徴について簡単に復習してから、この問題に取り組みましょう。

二次関数の基本的な形

二次関数は一般的に、y = ax² + bx + c の形で表されます。a > 0 の場合、グラフは上に凸の放物線を描きます。最大値ではなく、最小値を求めることが一般的です。今回は最大値を求める問題なので、x の範囲内で最大値を見つける方法を使います。

関数の平方完成

与えられた関数 y = x² – 4x + 6 を平方完成して、最小値と最大値を求めます。まず、x² – 4x を平方完成します。これを行うと。

y = (x – 2)² + 2 となります。このようにして関数の最小値を求める準備ができました。

最大値の求め方

上記の平方完成後の式では、(x – 2)² の部分が常に0以上となります。したがって、y の最小値は2であり、x = 2 のときに y の値は 2 となります。しかし、x の範囲 (0 ≦ x ≦ a) によっては、最大値を考える必要があります。

範囲内での最大値

x の範囲が 0 ≦ x ≦ a であるため、x = 0 および x = a のときの y の値を求めると、y(0) = 0² – 4(0) + 6 = 6 となります。x = a のときの y の値も計算し、範囲内で最大値を選びます。

まとめ

このように、平方完成を使って二次関数の最小値と最大値を求めることができました。最大値を求めるためには、与えられた範囲での端点の値を計算し、比較して最大値を見つけます。今回の場合、x = 0 のときの値が最大であり、y の最大値は 6 です。