与えられた不等式：(C_1)e^(x(3-√5)/2)+(C_2)e^(-x(√5+3)/2)+2>0、x>0を満たすC_1とC_2の条件を求める方法について解説します。これを解くためには、指数関数を扱う際の基本的な考え方と、不等式の性質を理解することが必要です。
問題の整理とアプローチ
与えられた不等式は、指数関数が含まれているので、C_1およびC_2の符号や大きさを決めるために、指数関数の増減についてしっかり理解することが重要です。まず、問題を次のように整理します。
(C_1)e^(x(3-√5)/2)+(C_2)e^(-x(√5+3)/2)+2>0
この式で、x>0の範囲で、C_1とC_2に対する制約を求めることが求められています。
指数関数の特性を理解する
指数関数は、xが増加するにつれて急速に増加したり減少したりします。この性質を利用して、C_1とC_2がそれぞれどのような条件を満たす必要があるのかを考えます。特に、e^(x(3-√5)/2)とe^(-x(√5+3)/2)は異なる挙動をするので、xが0より大きい場合の挙動を詳しく調べます。
不等式を解くためのステップ
まず、xが増加すると、e^(x(3-√5)/2)は増加し、e^(-x(√5+3)/2)は減少するという特性を利用します。次に、2項の合計が常に正であるためには、C_1とC_2の関係を導く必要があります。例えば、C_1が正の場合、e^(x(3-√5)/2)が支配的になり、C_2が正の場合はe^(-x(√5+3)/2)が支配的になります。
C_1とC_2の条件を導出する
C_1およびC_2の条件は、与えられた不等式がx>0の範囲で常に成立するためのものです。まず、x→∞における式の挙動を調べ、次にx→0での挙動を調べます。この両方の極限を考慮することで、C_1とC_2に対する具体的な条件が得られます。
まとめ
指数関数を含む不等式の問題では、まず指数関数の挙動を理解し、次に不等式を満たすためのC_1とC_2の関係を導き出します。C_1とC_2の符号や大きさに関する条件をしっかりと導出することで、与えられた不等式が成立するための条件が明確になります。
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