2階線形微分方程式 (1-x²)y” – 2xy’ + 2y = 0 の解法

この記事では、2階線形微分方程式 (1-x²)y” – 2xy’ + 2y = 0 を解く方法について解説します。この微分方程式を解く際には、与えられた基本解 x を利用して解を求めます。

微分方程式の解析

与えられた微分方程式は次の形をしています。

(1-x²)y” – 2xy’ + 2y = 0

ここで、y’ は y の一階微分、y” は y の二階微分です。この方程式を解くためには、適切な方法を選択する必要があります。

与えられた基本解の利用

問題文には「基本解は x である」と記載されています。この基本解を利用して、問題を解くためのヒントを得ることができます。基本解 x を使うことで、方程式の一般解の一部を簡単に求めることができます。

解の求め方

まず、基本解 x に基づき、微分方程式を解くために適切な積分法を使用します。この場合、x を1つの解として仮定し、次にその解に基づいて一般解を求めます。一般解の形が次第で、定数の扱いや追加の解を導出できます。

一般解の導出

具体的には、x を既知の解として組み込んでいきます。その後、余分な定数や積分変数を解くことで、最終的な一般解を導き出します。この過程で、微分方程式に適合する形で解を求めます。

まとめ

2階線形微分方程式 (1-x²)y” – 2xy’ + 2y = 0 の解法は、与えられた基本解を利用し、積分法を駆使して解を求めるものです。基本解 x を出発点にして、一般解を導出することで、最終的な解を得ることができます。このような方法を使うことで、複雑な微分方程式を効率的に解くことができます。