異なる9個の玉をA、B、Cの3つのグループに分ける方法について、1680 ÷ 3！という計算式を使う理由を解説します。これを理解するには、順列と組み合わせの基本的な考え方を知っておくと役立ちます。
問題の設定
9個の異なる玉を3つのグループに分けるとき、どのように分け方を数えるかが重要です。最初に、3つのグループに分けるということは、順番が考慮されるかどうかによって異なります。
組み合わせと順列の違い
順列は「順番を考慮して並べる」方法、組み合わせは「順番を考えずに選ぶ」方法です。ここで、グループ内の順番は関係ないと考えるため、組み合わせの問題になります。
まず、9個の玉を3つのグループに分ける場合、グループ内の順番を考えずに分ける方法は組み合わせに基づいて計算されます。しかし、同じ玉を使った異なる順序での分け方が重複するため、これを除く必要があります。
なぜ1680 ÷ 3！を使うのか
まず、9個の異なる玉を3つのグループに分ける方法は、9!（9の階乗）で計算されます。これにより、順番に関係なく全ての分け方を数えます。
次に、各グループの中で順番を考慮しないため、各グループの並べ方に関する重複を除く必要があります。各グループには3個の玉が含まれますので、1つのグループ内で順番に関する重複が3!（3の階乗）回あります。
そのため、全体の順列数9!を3!で割ることで、順番に関係ないグループの組み合わせ数が求められます。この結果、1680 ÷ 3!という計算式を使用する理由が分かります。
計算式の解説
最終的に、9個の玉を3つのグループに分ける場合の組み合わせ数は、9! ÷ (3! × 3! × 3!)になります。これを計算すると、1680通りの方法で玉を分けることができると求められます。
まとめ
異なる9個の玉を3つのグループに分ける方法を計算するためには、順番の重複を除く必要があります。そのため、9! ÷ 3! × 3! × 3!という式を使用して、計算が行われます。これにより、1680通りの分け方が求められる理由が理解できました。
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