ロピタルの定理を使った限界計算方法：lim(x→∞)(e^x･logx-x^2)

ロピタルの定理は、0/0や∞/∞の形を持つ極限を求めるための強力な手法です。この問題では、lim(x→∞)(e^x･logx-x^2)という極限を求める際に、ロピタルの定理をどのように適用するかを説明します。

問題の形を確認

まず、この問題を整理しましょう。問題はlim(x→∞)(e^x･logx-x^2)です。xが無限大に向かうとき、式の各部分はどのように振る舞うかを確認します。まず、e^xとlogxがそれぞれどのように振る舞うかを調べます。

ロピタルの定理を使うためには、式が0/0または∞/∞の形でなければなりません。この問題では、x→∞のとき、e^x・logxは無限大に発散し、x^2も無限大に発散します。よって、この式は∞-∞の形になり、ロピタルの定理を適用する準備が整います。

ロピタルの定理は、次のように適用します。まず、式を分数にして、分子と分母に分けます。ここでは、式を分子と分母に分けて、分母と分子をそれぞれ微分します。

lim(x→∞) (e^x logx – x^2) は、以下のように変換できます。

lim(x→∞) (e^x logx) / (1/x^2)

次に、分子と分母を微分します。

分子: d/dx(e^x logx) = e^x logx + e^x / x

分母: d/dx(1/x^2) = -2/x^3

この微分後、再度極限を計算していきます。

微分後、式が再度∞/∞の形になるので、もう一度ロピタルの定理を適用していきます。最終的には、計算を続けることで、求める極限の値を得ることができます。

ロピタルの定理を使うことで、∞-∞の形の極限問題を解決することができます。特に、この問題のように指数関数と対数関数を含む場合でも、ロピタルの定理を適用すれば効率的に解答を得ることができます。計算を行う際は、分子と分母を正しく微分し、必要に応じて複数回ロピタルの定理を使うことが重要です。