円Oに内接する三角形ABCの辺の長さが与えられたとき、その円Oの直径を求める方法について解説します。具体的には、三角形ABCの辺の長さがAB=13, BC=14, CA=15である場合の直径Lを求めます。
円に内接する三角形の性質
円Oに内接する三角形とは、その三角形の各辺が円Oに接しているという性質を持っています。内接円が存在する三角形では、円の半径rと三角形の辺の長さを使って、さまざまな計算が可能です。
内接円の半径rを求めるために、まずは三角形の面積を求める必要があります。
三角形ABCの面積を求める
三角形ABCの面積を求めるためには、ヘロンの公式を使用します。ヘロンの公式は、三角形の辺の長さがa, b, cのとき、面積Aは以下のように求められます。
A = √(s(s – a)(s – b)(s – c))
ここで、sは三角形の半周長です。半周長sは次のように計算できます。
s = (a + b + c) / 2 = (13 + 14 + 15) / 2 = 21
次に、ヘロンの公式を使って面積Aを求めます。
A = √(21(21 – 13)(21 – 14)(21 – 15)) = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84
内接円の半径を求める
三角形ABCの面積が84であることがわかりました。内接円の半径rを求めるためには、次の公式を使用します。
r = A / s
ここで、Aは三角形の面積、sは半周長です。したがって、rは次のように計算されます。
r = 84 / 21 = 4
円Oの直径を求める
円Oの直径Lは、内接円の半径rの2倍です。
L = 2r = 2 × 4 = 8
まとめ
三角形ABCの辺の長さがAB=13, BC=14, CA=15である場合、その内接円の直径は8です。ヘロンの公式を使って面積を求め、内接円の半径を計算し、最終的に直径を求めることができました。この方法を用いることで、円に内接する三角形の性質を活かした計算ができます。
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