広義積分 ∫[0,∞] x^(a-1)/(1+x)dx の収束・発散の調べ方と収束時の値の計算方法

この問題では、広義積分 ∫[0,∞] x^(a-1)/(1+x)dx の収束と発散を調べ、収束する場合にはその値を求める方法を解説します。ここで、a > 0 という条件が与えられています。

1. 広義積分の収束条件の確認

まず、広義積分 ∫[0,∞] x^(a-1)/(1+x)dx の収束性を調べます。積分の範囲が [0,∞] であるため、積分区間 [0,1] と [1,∞] に分けて考えるのが一般的です。これにより、それぞれの区間で収束条件を調べます。

まず、x = 0 付近、次に x = ∞ 付近を調べていきます。

積分範囲の始点である x = 0 付近を考えます。ここで、分母の 1+x が x に比べて小さくなるため、分子 x^(a-1) の収束性が支配的になります。

そのため、積分 ∫[0,1] x^(a-1)dx が収束するための条件を求めます。この積分は、a > 0 であれば収束します。

次に、積分範囲の上限である x = ∞ 付近を調べます。ここでは、分母の 1+x が x と同じくらい大きくなるため、分子 x^(a-1) と分母 x の比率が重要です。

積分 ∫[1,∞] x^(a-1)/(1+x)dx は、x が大きくなると近似的に ∫[1,∞] x^(a-2)dx と考えることができ、これが収束するための条件は a < 1 です。

したがって、積分 ∫[0,∞] x^(a-1)/(1+x)dx は、a > 0 および a < 1 の場合に収束します。

収束した場合、積分の値は積分区間を [0,1] と [1,∞] に分けて計算し、最終的な結果を求めます。一般的に、この積分は定積分の公式を用いて計算することができます。

この広義積分 ∫[0,∞] x^(a-1)/(1+x)dx の収束と発散を調べ、収束条件を明確にしました。収束する場合、積分の値を計算する手順を示しました。