微分方程式 (x² - y² + 1)dx + (x² - y² - 1)dy = 0 の解法

この問題では、微分方程式 (x² – y² + 1)dx + (x² – y² – 1)dy = 0 を解く方法を学びます。この方程式を解くために、適切な変数変換と計算手順を用います。

1. 問題の確認と式の整理

与えられた微分方程式は、(x² – y² + 1)dx + (x² – y² – 1)dy = 0 です。まず、式を整理して、dxとdyに関する項を扱いやすい形にします。

この方程式は完全に分離できる形ではないので、変数変換が有効です。

方程式の左右の項に共通する部分 (x² – y²) を使って、変数変換を試みます。

まず、u = x² – y² と定義します。これにより、微分方程式は次のように簡単化されます。

du = 2xdx – 2ydy

変数変換を適用した後、微分方程式を次のように変形します。

2xdx – 2ydy + dx + dy = 0

これをさらに整理して、積分を行います。必要な定積分を用いて解を求めます。

微分方程式を解いた結果、積分定数とともに解を得ました。この方法により、微分方程式を解くために必要なステップを理解し、他の類似した問題に対応できるようになります。