微分方程式 y – xy’ = x + yy’ の解法

この問題では、微分方程式 y – xy’ = x + yy’ を解く方法について説明します。このタイプの微分方程式は、まず問題を整理し、適切な方法で解くことが重要です。

1. 問題の整理

与えられた微分方程式は、y とその導関数 y’ を含んでいます。式は次のようになっています。

y – x * y’ = x + y * y’

ここで、y’ は y の導関数です。この式を解くためには、まず微分方程式を整理し、適切な方法で解いていきます。

2. 方程式の変形

式を再整理して、y’ を含む項をまとめます。

y – x * y’ – y * y’ = x

次に、y’ を共通因数としてまとめます。

y – y’ * (x + y) = x

これにより、y’ を簡単に解くための形が整いました。

3. y’ の解法

上記の式を y’ について解くと、次のようになります。

y’ = (y – x) / (x + y)

これにより、y’ を求める式が得られます。

4. 解の求め方とまとめ

微分方程式の解は、最初の条件や境界条件が与えられていない限り、一般的な形で表現することができます。ここでは、y’ の式を得ることができました。

最終的に得られた解は、上記のように示され、微分方程式の解法を理解するための一歩となります。

まとめ

微分方程式 y – xy’ = x + yy’ の解法は、式を整理し、y’ の形に変形して解くことができます。この過程で、微分方程式を解くために必要な手順や考え方を学ぶことができました。今後も様々な微分方程式を解く際に、この方法を活用することができます。