数3 回転体の体積の求め方：y=2∛x² と y=4 で囲まれた部分を回転させる

この問題では、関数y=2∛x² と直線y=4で囲まれた部分をy軸の周りに一回転させてできる立体の体積を求める問題です。まず、この問題を解くために必要な考え方や公式について解説し、その後で具体的な計算方法を説明します。

関数y=2∛x² のグラフを理解する

関数y=2∛x²は、x²の立方根を取って2倍にしたものです。このグラフは、x=0を中心に対称的で、xが増加するにしたがってyも増加します。

グラフを描くと、原点から右上方向に緩やかなカーブを描きます。このグラフを描けると、問題の範囲（y=2∛x²とy=4で囲まれた部分）を正確に把握できます。

回転体の体積を求めるためには、円盤の面積を積分する方法を使用します。具体的には、以下の公式を使います。

V = π ∫[a, b] (f(x))² dx

ここで、f(x)は回転する関数、[a, b]はxの範囲を示します。この場合、y軸の周りに回転させるため、関数y=2∛x²を使って円盤の面積を求め、積分して体積を求めます。

次に、関数y=2∛x²と直線y=4の交点を求めます。この交点を求めるためには、2∛x² = 4を解く必要があります。両辺を3乗すると、x² = 8となり、x = ±√8となります。

この交点から、xの範囲[a, b]が決まります。今回は、x=-√8からx=√8までの範囲で積分を行います。

体積Vは、次の式で求められます。

V = π ∫[−√8, √8] (2∛x²)² dx = π ∫[−√8, √8] 4x⁴ dx

この積分を解くと、体積Vが求められます。積分の結果、最終的な体積は特定の値に計算できます。

y=2∛x²とy=4で囲まれた部分をy軸の周りに回転させてできる立体の体積を求めるためには、まず関数のグラフを理解し、その後、回転体の体積を求める公式を適用して積分を行います。問題の解法をしっかり理解し、手順通りに計算すれば、体積を求めることができます。

回転体の体積を求める練習を繰り返すことで、このような問題にもスムーズに対応できるようになります。