関数 y=mx²+4x+m-3 の定数 m の値の範囲を求める方法: yが常に負である条件

関数 y=mx²+4x+m-3 において、y の値が常に負であるための定数 m の値の範囲を求める問題です。自分で解いた結果、m<-1、4

問題の理解

まず、与えられた関数 y = mx² + 4x + m – 3 について、y の値が常に負であるための条件を求めます。このような問題では、y の値が常に負であることが必要です。そのためには、関数のグラフが x 軸より下に位置する必要があります。

関数が常に負であるためには、放物線の頂点が x 軸より下にあり、放物線が下向きに開いていることが必要です。この条件を満たすために、関数の判別式や頂点の位置を使って解いていきます。

放物線の向きと頂点の位置

関数 y = mx² + 4x + m – 3 は、2次関数の形をしています。この放物線が下向きに開くためには、m の値が負でなければなりません。つまり、m < 0 でなければなりません。

次に、関数の頂点の位置を求めます。頂点の x 座標は、x = -b/2a の公式を使用して求めることができます。この場合、a = m、b = 4 ですので、頂点の x 座標は x = -4/(2m) となります。

判別式を使った条件

関数が常に負であるためには、放物線が x 軸と交差しない必要があります。つまり、判別式が負でなければなりません。判別式は、b² – 4ac で求められます。ここでは、a = m、b = 4、c = m – 3 ですので、判別式は次のように求められます。

判別式 = 4² – 4 × m × (m – 3) = 16 – 4m² + 12m

これが負であることが条件です。すなわち、16 – 4m² + 12m < 0 となるような m の範囲を求めます。

判別式を解く

16 – 4m² + 12m < 0 を解くために、まず式を整理します。

-4m² + 12m + 16 < 0 となります。両辺を -1 で割って式を簡単にすると、4m² - 12m - 16 > 0 となります。

この2次不等式を解くために、まずは解の公式を使って解きます。解の公式を使って、m の範囲を求めます。

解の求め方と最終的な範囲

解の公式を使って計算すると、m の範囲が m < -1 となります。この条件を満たすためには、m は -1 より小さい必要があります。したがって、最終的な答えは m < -1 です。

まとめ

関数 y = mx² + 4x + m – 3 が常に負であるための定数 m の値の範囲は、m < -1 となります。この範囲において、放物線は常に x 軸より下に位置し、y の値は常に負となります。解法の過程で、判別式や頂点の位置を使って条件を絞り込みました。