4元数の計算は、複素数や3次元のベクトル空間と似た性質を持ちますが、より多くの成分を含んでいます。4元数は通常、a + bi + cj + dk の形で表され、a, b, c, d は実数です。この記事では、与えられた4元数の計算を実行し、その結果をこの形式に変換する方法を解説します。
(1) (2+3i-j)(1+4k) の計算
まず、2つの4元数 (2 + 3i – j) と (1 + 4k) を掛け算します。4元数の掛け算では、各成分を展開し、i, j, k の乗法規則を適用します。
計算を行うと、次のように展開されます。
(2 + 3i – j)(1 + 4k) = 2(1 + 4k) + 3i(1 + 4k) – j(1 + 4k)
それぞれの項を計算し、i, j, k に関する規則を適用すると、最終的に a + bi + cj + dk の形に変換できます。
(2) (1+i-k)^2 の計算
次に、(1 + i – k)^2 の計算を行います。これは 4元数の自乗です。
(1 + i – k)^2 = (1 + i – k)(1 + i – k)
この式を展開すると、各成分の乗法を計算することで、最終的に 4元数の形に変換することができます。i, k の乗法規則に従い、適切に計算を進めていきます。
(3) (3+4j)^(-1)(5+10k) の計算
最後に、(3 + 4j)^(-1)(5 + 10k) の計算を行います。まず (3 + 4j)^(-1) を計算し、その逆数を求めます。
4元数の逆数は、通常、その共役を取ってからノルムで割ることによって求めます。共役は、j の符号を反転させる操作です。その後、逆数を掛けることで最終的な結果を得ることができます。
まとめ：4元数の計算方法
この記事では、与えられた4元数の計算方法を示しました。4元数の計算は、通常の数式と同様に展開して計算を行いますが、i, j, k の乗法規則に従う必要があります。また、逆数の計算も重要なステップとなります。
4元数を扱う際は、これらの基本的なルールをしっかり理解し、計算を進めることが大切です。
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