「既約分数の平方は既約分数ですか？」という質問は、数学における分数の性質についての興味深い問題です。既約分数とは、分子と分母が互いに素であり、これ以上簡単にできない分数のことを指します。この質問では、既約分数を平方した場合、その結果がまた既約分数になるのかを探ります。
既約分数とは
既約分数とは、分数の分子と分母の最大公約数（GCD）が1である分数のことです。例えば、3/4は既約分数ですが、6/8は既約分数ではありません。なぜなら、6と8の最大公約数は2だからです。
既約分数の特徴として、分子と分母に共通する因数がないことが挙げられます。この性質が、平方を取ったときにどう影響するのかを考えることが、この問題のポイントです。
既約分数の平方を取るとどうなるか
既約分数の平方を取る場合、分子と分母をそれぞれ2乗します。例えば、3/4という既約分数を平方すると、(3/4)² = 9/16となります。この場合、分子の9と分母の16は互いに素なので、9/16は既約分数であることがわかります。
つまり、一般的に、既約分数の平方は再び既約分数になることが分かります。ただし、分子や分母に共通の因数が現れる場合は、平方後に約分しなければならないこともあります。
注意点：約分の確認
平方した後に約分が必要になる場合もあります。例えば、分数が既約でない場合、その平方を取った際に共通の因数が現れ、再度約分することが求められます。例えば、(6/9)² = 36/81となり、この分数は約分して4/9にすることができます。
このため、平方後に約分が必要かどうかを確認することが大切です。
まとめ
既約分数の平方は、基本的には再び既約分数となります。ただし、分子や分母に共通の因数が現れる場合、その平方後には再度約分を行う必要があります。したがって、平方を取った結果が既約分数かどうかを判断する際には、約分の有無をしっかり確認することが重要です。
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