√32aが整数となるような30以下の自然数aの値を求める方法

数学の問題で、「√32aが整数となるような30以下の自然数aの値をすべて求めなさい」という問題があります。この問題では、式√32aが整数となるようなaの値を探す必要があります。ここでは、解法のステップを順を追って解説します。

問題の理解

問題では、式√32aが整数になるような自然数aを求めることが求められています。√32aという式が整数であるためには、32aが完全な平方数である必要があります。つまり、32aが何かの平方数、例えばn^2の形をしていなければなりません。

平方数とは、ある自然数を二乗した数です。例えば、1, 4, 9, 16, 25などが平方数です。問題を解くためには、32aが平方数になる条件を探し、その条件に当てはまるaを見つける必要があります。

32aが平方数であるためには、aが32で割り切れる数である必要があります。さらに、32の因数の中で平方数を作ることができるaを求めます。

32は素因数分解すると、32 = 2^5となります。したがって、32aが平方数となるためには、aの中で2の因数を補って、2の指数が偶数になる必要があります。

つまり、aは2の指数を1つ追加する形、すなわちa = 2^kの形になる必要があります。これを満たすaの値を順に調べます。

30以下の自然数aで、32aが平方数となるためのaを求めるためには、a = 2^kの形でkの値を変化させていきます。具体的に、aの候補は次のように調べます。

これらの中で、32以下の自然数は2, 4, 8, 16です。これらのaに対して、√32aが整数になるかを確認すると、すべて整数となります。

√32aが整数となるような、30以下の自然数aの値は、2, 4, 8, 16の4つです。このように、平方数に関する理解を深めることで、問題を効率よく解くことができます。