Z/nZの部分群と生成元に関する問題の解法

この問題では、Z/nZ の部分群とその元に関する性質を示す問題を解く方法について解説します。特に、自然数 a と b の最大公約数が1である場合の互いに素な性質や、部分群の生成元について、具体的な解法を示していきます。

問題の設定と用語の確認

まず、Z/nZ は整数の集合 Z を n で割った剰余類を表します。特に、[a] は整数 a の剰余類を示し、Z/nZ の元を構成します。問題に登場する最大公約数 (a, n) は、a と n の最大の共通因数を意味し、(a, n) = c となるとき、a と n がcで割り切れることが示されます。

また、H は Z/nZ の部分群であり、[a] はその元とすることが前提です。この元 [a] が H の元としてどのように振る舞うかを確認します。

(i) の解法：部分群 H における元の関係

(i) の問題では、(a, n) = c となるとき、元 [c] が部分群 H に含まれることを示します。この証明のためには、(a, n) = c という関係を利用します。

具体的に、(a, n) = c となるならば、ある整数 x, y ∈ Z に対して、ax + ny = c が成り立ちます。この式を利用して、c が H の元であることを示します。部分群 H の定義により、[c] は H に含まれることが分かります。

(ii) の解法：部分群 H の元と最小の a の関係

次に、(ii) の問題では、H を位数 d の Z/nZ の部分群とし、[a] ≠ [0] となる最小の a が与えられた場合について考えます。

ここで重要なのは、最小の a が n の約数であることを示すことです。具体的には、[a] が生成する部分群 H が巡回群であり、H の位数が d であるとき、ad = n となることを証明します。これにより、a が n の約数であることが導かれます。

最小の a が n の約数である理由

[a] が生成する部分群が巡回群であるという事実を考慮すると、a が最小の元であることから、a は n の約数であることが分かります。a と n の関係をさらに掘り下げることで、a が n の約数である理由が明確になります。

まとめ

この問題では、Z/nZ の部分群における元の性質と、最小の生成元 a の関係について示しました。(i) では、(a, n) = c の場合に c が部分群 H に含まれることを証明し、(ii) では、[a] が生成する部分群が巡回群であることから、a が n の約数であることを導きました。これらの結果を理解することで、群論における部分群と生成元の性質を深く学ぶことができます。