三角関数の加法定理を使った計算の解説

数学の三角関数でよく使用される加法定理を使った計算の例を解説します。特に、与えられた式「cosθ + cos(θ + π/3) = 2cos(θ + π/6)cos(-π/6) = √3cos(θ + π/6)」の変形過程に注目しながら説明します。

加法定理とは？

三角関数の加法定理は、角度の加算に関する公式です。例えば、cos(A + B)やsin(A + B)を単純な三角関数の積に分解するために使います。これにより、複雑な三角関数の式を簡単に計算することができます。

加法定理の例として、cos(A + B) = cosAcosB – sinAsinB という公式があります。これを使うことで、cosθ + cos(θ + π/3)などを変形することができます。

まず、与えられた式を見てみましょう。

cosθ + cos(θ + π/3)

この式では、cos(θ + π/3)を加法定理を使って展開します。

cos(θ + π/3) = cosθcos(π/3) – sinθsin(π/3) です。ここで、cos(π/3) = 1/2、sin(π/3) = √3/2 ですので、式は次のようになります。

cosθ + cos(θ + π/3) = cosθ + cosθ * 1/2 – sinθ * √3/2

これを整理すると、次の式になります。

cosθ + cos(θ + π/3) = (3/2)cosθ – (√3/2)sinθ

次に、この式がどのようにして「2cos(θ + π/6)cos(-π/6)」に変形するのかを見ていきましょう。

まず、加法定理を使って、2cos(θ + π/6)cos(-π/6)を展開します。

2cos(θ + π/6)cos(-π/6) = cos(θ + π/6 + π/6) + cos(θ + π/6 – π/6)

これにより、式がcos(θ + π/3)と一致することがわかります。

最終的に、これらの変形を経て、最終的な式は「√3cos(θ + π/6)」に到達します。この過程で、加法定理や三角関数の積の公式を使うことが重要であることがわかります。

この計算では、三角関数の加法定理を使って、複雑な式を単純な形に変形しました。特に、cos(θ + π/3)の展開に加法定理を適用し、その後積の公式で整理することで、最終的に理解しやすい形にしました。

三角関数の加法定理を使うことで、より簡単に計算できる式に変形できることが確認できました。これを他の問題にも応用することで、三角関数の理解を深めることができます。