この問題では、Z/nZ の部分群についての証明問題が出題されています。特に、(i) と (ii) の問題は、整数論や群論の基本的な性質を利用して解くことができます。この記事では、それぞれの問題をどのように解くかを解説します。
問題の概要と定義の確認
まず、Z/nZ は n の元からなる加法群で、[a] はその元であり、a + nZ として表されます。また、(a, b) は a と b の最大公約数を示し、(a, n) = c は a と n の最大公約数が c であることを意味します。このような定義を元に、問題に取り組みます。
(i)の証明：HをZ/nZの部分群とした場合
問題 (i) では、H を Z/nZ の部分群とし、[a] を H の元とするという設定で、(a, n) = c であるときに元 [c] が H に含まれることを証明します。
まず、「(a, n) = c」とは、整数 x, y が存在して ax + ny = c を満たすということです。この式は、a と n が c に関してどのように関係しているかを示しています。H が部分群であるため、H の元の和や逆元が再び H の元であることを利用します。このため、[c] は H の元として含まれることがわかります。
(ii)の証明：Hの位数と生成される群
問題 (ii) では、H が位数 d の Z/nZ の部分群であり、[a] ≠ [0] であるような自然数 a が最小となるような H の元を考え、この a が n の約数であることを証明します。
まず、H は [a] によって生成される巡回群であるため、[a] の繰り返しで群の元がすべて生成されます。a が最小であるため、a は n の約数であることが必然です。また、H の位数 d と a の関係を考えると、ad = n となり、a が n の約数であることが確認できます。
数学的背景と利用する定理
この問題では、整数論と群論の基本的な定理が利用されています。特に、(a, n) = c の式や部分群の性質を理解していると、証明がスムーズに進みます。群論の基本的な知識や最大公約数の性質を押さえておくと、このような問題に対するアプローチが明確になります。
まとめ
Z/nZ の部分群に関する問題は、群論と整数論の基礎的な理論を応用することで解けます。(i) と (ii) の証明においては、部分群の性質や最大公約数の概念を使うことで、数学的な論理を積み重ねて解決できることがわかります。数学を学ぶ際には、基本的な定義と理論をしっかりと理解することが重要です。
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